Quand les matrices s'invitent dans la consolidation ...

Par Allen White (1), Sigma Conso co-founder & administrator
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Résumé

Une des étapes du processus de consolidation des comptes d’un groupe de sociétés requiert le calcul de pourcentages.

Si la structure du groupe, qui est un graphe non planaire, présente un nombre important de sociétés avec, entre elles, de nombreux liens de participations, le recours à un algorithme matriciel s’avère incontournable.

Cet article en expose l’approche mathématique.

I. Description du contexte

Le schéma ci-dessous présente un groupe de quatre sociétés constitué de S0 appelée maison mère, société consolidante ou société holding et de sociétés Si avec i ∈ [1, 3] appelées sociétés détenues ou filiales.

Schema I Description

Les pourcentages mentionnés sur ce schéma représentent le niveau de détention d’actions d’une société dans une autre, soit le rapport entre le nombre d’actions détenues et le nombre d’actions émises. Il est appelé pourcentage direct.

Or, il se fait que le processus de consolidation demande de calculer les pourcentages indirects détenus par S0 dans chaque société Si, i ≠ 0.A titre d’exemple, le pourcentage indirect détenu dans la société S3 s’établit comme suit :

10% détenu directement par la société S0
32% = 80% ∗ 40% calculé le long du chemin S0 → S1 → S3
2.4% = 60% ∗ 10% ∗ 40% calculé le long du chemin S0 → S2 → S1 → S3
12% = 60% ∗ 20% calculé le long du chemin S0 → S2 → S3
L’addition de ces quatre pourcentages, soit 56.4%, fournit le pourcentage indirect attendu.

Ainsi exposé, l’algorithme de calcul paraît simple puisque, pour chaque société Si , il suffit d’inventorier les chemins qui partent de S0 et qui aboutissent à Si en multipliant les pourcentages directs le long de chacun d’eux puis en sommant les résultats.

Toutefois, la taille du groupe (nombre de sociétés) et la complexité de sa structure (nombre de participations, donc de chemins) peuvent rendre l’algorithme d’application difficile.

Enfin, l’existence de participations croisées, à supposer que l’on ait par exemple une participation de S2 dans S3 et de S3 dans S2 , rend tout simplement l’algorithme inopérant par des moyens manuels.

Et c’est là que les matrices apportent une aide fort élégante.

II. Conventions d’écriture

  • Soit S0 la société mère d’un groupe composé de n + 1 sociétés, y compris elle-même
  • Soit Si avec i ∈ [1, n] une société du groupe
  • Dij représente le pourcentage de participation directe de la société Si dans la société Sj avec i ∈ [0, n], j ∈ [1, n] et i ≠ j
  • Dii = 0 ∀i ∈ [0, n] signifiant que la société Si ne détient pas une partie de ses propres actions. Si c’était le cas, celles-ci seraient ignorées.
  • Di0 = 0 ∀i ∈ [1, n] signifiant qu’aucune société Si ne détient des actions de la société mère. Si c’était le cas, ces actions seraient également ignorées.
  • 0 ≤ Dij ≤ 1 ∀i, j ∈ [0, n] car Dij représente un pourcentage de participation. Nous convenons que 100% = 1.
  • Ni ∀i ∈ [0, n] représente le pourcentage indirect dans la société Si.
  • Nous supposons que N0 = 1 signifiant que le groupe détient 100% de la société mère.

Dans la suite de cet article, nous convenons d’écrire :

II Writing Convention

Compte tenu de ces conventions, nous associons aux pourcentages directs une matrice carrée D de dimension (n + 1) × (n + 1) composée des éléments Dij comme suit

II Convention d écriture MATRICE

De toute évidence, cette matrice ne peut jamais être égale à la matrice unité I.

III. Traduisons l’algorithme en équation

En toute généralité, on peut supposer a priori qu’une société est détenue par toutes les autres sociétés du groupe. Ainsi

III ALGO EN EQUATION

Dans ce cas, le pourcentage indirect dans Si s’écrit

Ni = N0 D0i + N1 D1i + N2 D2i + … + Nn Dni

Cette relation étant vraie pour toutes les sociétés, nous établissons un système de n + 1 équations dont les n + 1 inconnues sont les pourcentages indirects Ni . Ainsi

III ALGO EN EQUATION 2

Si par ailleurs nous définissons N = (1 N1 N2 … Nn)

comme un vecteur 1 × (n + 1), alors nous écrivons en notation matricielle N = (1 0 0 0 … 0) + N D

et en posant U = (1 0 0 0 … 0) N = U + N D

IV. Calculons le vecteur solution N

Le vecteur N peut être calculé explicitement à partir d’une méthode itérative en construisant une suite Nt = U + Nt-1 D (t ∈ N∗) avec une valeur de départ N0 = U et dont il faut assurer la convergence.


Itération 1 : N1 = U + N0D = U + UD
Itération 2 : N2 = U + N1D = U + (U + UD)D = U + UD + UD2

Itération t :

IV Calculons le vecteur

En augmentant le nombre d’itérations indéfiniment et sachant que

IV Calculons le vecteur 2

(voir section VI pour une preuve complète), on peut encore écrire

IV Calculons le vecteur 3

Et donc

IV Calculons le vecteur 4

Cette dernière relation montre que

IV Calculons le vecteur 5

Reprenons la relation (*) et considérons

IV Calculons le vecteur 6

Qui est la solution recherchée.

V. Appliquons ce résultat à notre exemple

La structure de groupe de notre exemple composé de quatre sociétés donne lieu à la matrice D que voici

VI Matrice 1

Et aux résultats suivants

VI Matrice 2
VI Matrice 3
VI Matrice 4

Ce dernier vecteur reprenant les pourcentages indirects.

On remarquera par ailleurs que, par exemple, l’élément (3,4) de la matrice (I − D)−1 égal à 24% exprime le pourcentage indirect de la société S2 dans la société S3.

VI. Quelques propriétés de la matrice D

Dans cette section, nous énonçons quelques propriétés de la matrice D qui découlent directement du fait qu’elle est rattachée à une structure de groupe de sociétés. En particulier, ces propriétés permettent de déduire que

VII G 1