Quand les matrices s’invitent dans la consolidation des comptes de groupes de sociétés

par Allen White (1), co-fondateur de Sigma Conso & administrateur

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Résumé

Une des étapes du processus de consolidation des comptes d’un groupe de sociétés requiert le calcul de pourcentages.

Si la structure du groupe, qui est un graphe non planaire, présente un nombre important de sociétés avec, entre elles, de nombreux liens de participations, le recours à un algorithme matriciel s’avère incontournable.

Cet article en expose l’approche mathématique.

I. Description du contexte

Le schéma ci-dessous présente un groupe de quatre sociétés constitué de S0 appelée maison mère, société consolidante ou société holding et de sociétés Si avec i ∈ [1, 3] appelées sociétés détenues ou filiales.

Schéma Groupe de 4 sociétés

Les pourcentages mentionnés sur ce schéma représentent le niveau de détention d’actions d’une société dans une autre, soit le rapport entre le nombre d’actions détenues et le nombre d’actions émises. Il est appelé pourcentage direct.

Or, il se fait que le processus de consolidation demande de calculer les pourcentages indirects détenus par S0 dans chaque société Si, i ≠ 0.
A titre d’exemple, le pourcentage indirect détenu dans la société S3 s’établit comme suit :

  • 10%  détenu directement par la société S0
  • 32% = 80% ∗ 40% calculé le long du chemin S0 → S1 → S3
  • 2.4% = 60% ∗ 10% ∗ 40% calculé le long du chemin S0 → S2 → S1 → S3
  • 12% = 60% ∗ 20% calculé le long du chemin S0 → S2 → S3

L’addition de ces quatre pourcentages, soit 56.4%, fournit le pourcentage indirect attendu.

Ainsi exposé, l’algorithme de calcul paraît simple puisque, pour chaque société Si , il suffit d’inventorier les chemins qui partent de S0 et qui aboutissent à Si en multipliant les pourcentages directs le long de chacun d’eux puis en sommant les résultats.

Toutefois, la taille du groupe (nombre de sociétés) et la complexité de sa structure (nombre de participations, donc de chemins) peuvent rendre l’algorithme d’application difficile.

Enfin, l’existence de participations croisées, à supposer que l’on ait par exemple une participation de S2 dans S3 et de S3 dans S2 , rend tout simplement l’algorithme inopérant par des moyens manuels.

Et c’est là que les matrices apportent une aide fort élégante.

 

II. Conventions d’écriture

  • Soit S0 la société mère d’un groupe composé de n + 1 sociétés, y compris elle-même
  • Soit Si avec i ∈ [1, n] une société du groupe
  • Dij représente le pourcentage de participation directe de la société Si dans la société Sj avec i ∈ [0, n], j ∈ [1, n] et i ≠ j
  • Dii = 0 ∀i ∈ [0, n] signifiant que la société Si ne détient pas une partie de ses propres actions. Si c’était le cas, celles-ci seraient ignorées.
  • Di0 = 0 ∀i ∈ [1, n] signifiant qu’aucune société Si ne détient des actions de la société mère. Si c’était le cas, ces actions seraient également ignorées.
  • 0 ≤ Dij ≤ 1 ∀i, j ∈ [0, n] car Dij représente un pourcentage de participation. Nous convenons que 100% = 1.
  • Ni ∀i ∈ [0, n] représente le pourcentage indirect dans la société Si.
  • Nous supposons que N0 = 1 signifiant que le groupe détient 100% de la société mère.

Dans la suite de cet article, nous convenons d’écrire :

II Convention d écriture

Compte tenu de ces conventions, nous associons aux pourcentages directs une matrice carrée D de dimension (n + 1) × (n + 1) composée des éléments Dij comme suit

II Convention d écriture MATRICE

De toute évidence, cette matrice ne peut jamais être égale à la matrice unité I.

 

III. Traduisons l’algorithme en équation

En toute généralité, on peut supposer a priori qu’une société est détenue par toutes les autres sociétés du groupe. Ainsi

III ALGO EN EQUATION

Dans ce cas, le pourcentage indirect dans Si s’écrit

Ni = N0 D0i + N1 D1i + N2 D2i + … + Nn Dni

Cette relation étant vraie pour toutes les sociétés, nous établissons un système de n + 1 équations dont les n + 1 inconnues sont les pourcentages indirects Ni . Ainsi

III ALGO EN EQUATION 2

 

Si par ailleurs nous définissons

N = (1 N1 N2 … Nn)

comme un vecteur 1 × (n + 1), alors nous écrivons en notation matricielle

N = (1 0 0 0 … 0) + N D

et en posant U = (1 0 0 0 … 0)

N = U + N D

 

IV. Calculons le vecteur solution N

Le vecteur N peut être calculé explicitement à partir d’une méthode itérative en construisant une suite Nt = U + Nt-1 D (t ∈ N) avec une valeur de départ N0 = U et dont il faut assurer la convergence.

Itération 1 : N1 = U + N0D = U + UD

Itération 2 : N2 = U + N1D = U + (U + UD)D = U + UD + UD2

Itération t : IV Calculons le vecteur

En augmentant le nombre d’itérations indéfiniment et sachant que IV Calculons le vecteur 2 (voir section VI pour une preuve complète), on peut encore écrire

IV Calculons le vecteur 3

Et donc

IV Calculons le vecteur 4

Cette dernière relation montre que

IV Calculons le vecteur 5

Reprenons la relation (*) et considérons

IV Calculons le vecteur 6

qui est la solution recherchée.

 

V. Appliquons ce résultat à notre exemple

La structure de groupe de notre exemple composé de quatre sociétés donne lieu à la matrice D que voici

VI Matrice 1

et aux résultats suivants

VI Matrice 2

VI Matrice 3

VI Matrice 4

 

 

ce dernier vecteur reprenant les pourcentages indirects.

On remarquera par ailleurs que, par exemple, l’élément (3,4) de la matrice (I − D)−1 égal à 24% exprime le pourcentage indirect de la société S2 dans la société S3.

 

VI. Quelques propriétés de la matrice D

Dans cette section, nous énonçons quelques propriétés de la matrice D qui découlent directement du fait qu’elle est rattachée à une structure de groupe de sociétés. En particulier, ces propriétés permettent de déduire que  IV Calculons le vecteur 2.

A. Norme d’une matrice D

Nous définissons VII A Norme d une matrice 1 qui consiste simplement à considérer la somme de ses éléments. C’est en effet une norme puisque

  • ||D|| ≥ 0 car Dij ≥ 0 ∀i, j ∈ [0, n]
  • Si ||D|| = 0, alors VII A Norme d une matrice 1b et comme Dij ≥ 0 nous devons avoir Dij = 0 ∀i, j ∈ [o, n], donc D = 0.
  • Soit VII A Norme d une matrice 2 . Alors VII A Norme d une matrice 3.
  • Considérant deux matrices carrées A et B de même dimension, nous avons VII A Norme d une matrice 4= VII A Norme d une matrice 5.
    Il aurait été suffisant de montrer que ||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||.

B. Somme des éléments d’une colonne de la matrice D

Appelons  VII B Somme des éléments la somme des éléments de la colonne j de la matrice D. Comme D est attachée à une structure de groupe, on peut déduire les propriétés suivantes :

  • σj représente le total des pourcentages détenus par tous les actionnaires groupe de la société Sj ∀j ∈ [1, n].
  • σ0 = 0 car la maison mère n’a pas d’actionnaire dans la structure du groupe.
  • 0 < σj ≤ 1 ∀j ∈ [1, n] car chaque société, à l’exception de la maison mère, a au moins un actionnaire au sein du groupe. De plus, le maximum de pourcentage détenu par tous ces actionnaires ne peut bien sûr dépasser 100% = 1.

C. Quelle est la signification du terme VII C Signification 1 de la matrice Dt ?

Nous définissons VII C Signification 1 comme étant l’élément de la ligne i et de la colonne j de la matrice Dt . On peut alors écrire par exemple pour t = 2

VII C Signification 2

et chaque terme Dik Dkj de cette sommation pour une certaine valeur de k représente le produit des pourcentages directs détenus par la société Si dans Sk et Sk dans Sj . Autrement dit, c’est le produit des pourcentages directs le long du chemin partant de Si et arrivant à la société Sj en passant par la société Sk. Nous disons dans ce cas qu’il s’agit d’un chemin de longueur deux.

En sommant sur k, nous considérons simplement la somme des produits des pourcentages le long de tous les chemins de longueur deux de Si à Sj. C’est la signification de VII C Signification 3.

L’extension apparaît tout naturellement quand on considère le terme VII C Signification 1 et son développement

 VII C Signification 4

Cette expression représente le produit des pourcentages directs le long de tous les chemins possibles de longueur t partant de la société Si et arrivant à la société Sj.

Si VII C Signification 1= 0, on peut affirmer qu’il n’existe pas de chemin de longueur t entre Si et Sj.

Cette situation peut par exemple se produire dans le groupe de quatre sociétés suivant

VII C Signification 5

En effet, un chemin de longueur deux partant de S0 et arrivant en S3 n’existe pas et donc

VII C Signification 6

On notera enfin que dans le groupe de trois sociétés ci-dessous

VII C Signification 7

qui présente des participations croisées entre S1 et S2 , l’élément VII C Signification 8 contient notamment le terme

VII C Signification 8

qui correspond au chemin de longueur cinq S0 → S1 → S2 → S1 → S2 → S1 . Cela signifie que, en toute généralité dans un groupe, les chemins d’une société à une autre peuvent présenter une longueur infinie lorsqu’il existe des participations croisées ou circulaires.

D. VII D 1

Nous avons

VII D 2

Considérant la propriété B alinéa 3 ci-dessus, nous pouvons écrire

VII D 3

et donc VII D 4.

E. Si, pour t = T , ||DT || = 0, alors
||Du || = 0 ∀u ≥ T

Cela est évident puisque si ||DT || = 0, alors DT = 0 et nous avons Du = Du-T DT = 0, d’où ||Du || = 0.

F. Si, pour t = T , ||DT+1|| = ||DT||, alors VII F 1 = 0 ∀j ∈ [0, n]

D’une part nous avons

VII F 2

D’autre part,

VII F 5

et nous supposons que ||DT+1 || = ||DT ||, donc

VII F 3

et comme et comme σ0 = 0

VII F 4

Dans cette dernière relation, le membre de gauche est inférieur ou égal à zéro puisque σk − 1 ≤ 0 et VII F 6 tandis que le membre de droite est supérieur ou égal à zéro puisque VII F 7 . Cela implique que l’égalité ne peut être réalisée que si VII F 8ou encore VII F 9.

Nous concluons que, sous la condition de l’énoncé, le groupe ne contient pas de chemin de longueur T reliant S0 à Sj . Et cette conclusion est alors vérifiée pour u ≥ T puisque

VII F 10

G. VII G 1

Nous avons montré que la suite ||Dt || est décroissante et bornée par 0. Mais rien ne prouve, à ce stade, que la borne inférieure de cette suite est zéro, valeur vers laquelle elle convergerait.
C’est ce que nous montrons ci-après en considérant successivement deux hypothèses complémentaires.

Supposons que le groupe ne contienne pas de cycles

Dans ce cas, les chemins les plus longs entre deux sociétés sont constitués de n segments pour un groupe de n + 1 sociétés. Donc, à partir de T > n, nous avons

VII G 2

sommation dans laquelle il doit y avoir dans chaque produit de facteurs au moins un terme égal à zéro, sans quoi il existerait au moins un chemin dépassant la longeur n. Donc ||DT || = 0 et DT = 0 pour toutes les valeurs de t ≥ T .

Supposons que le groupe contienne au moins un cycle

Supposons par ailleurs que VII G 3. Cela implique

VII G 4

Comme les termes Dαβ ≥ 0, il doit exister un produit au moins dans ces sommations tel que

Dik1 Dk1k2 … Dkt-1j > 0

mais comme t peut devenir aussi grand que l’on veut et compte tenu du nombre fini de sociétés du groupe, il doit nécessairement exister un cycle qui se répète à l’infini.
Concrètement, on doit rencontrer une situation de ce type

VII G 5

où, à un certain moment, un chemin partant de S0 via des sociétés Sa rencontre Sb qui constitue un point d’entrée dans un cycle ramenant sur Sb .
Il est important de noter qu’au niveau du point d’entrée Sb , il y a nécessairement au moins deux actionnaires, ce qui implique que Dab < 1 et Dcb < 1.

Dans le terme considéré ci-dessus, il est clair qu’il va apparaître alors le facteur Dcb avec un exposant croissant vers l’infini avec le nombre de cycles. Comme ce facteur est strictement inférieur à 1, il converge donc vers zéro. Ceci contredit notre hypothèse de départ.

Ainsi, quelle que soit l’hypothèse considérée, nous avons bien VII G 1.

 

 

Lire aussi : Valorisation financière et valorisation consolidée. Deux approches identiques ?

 

 

(1) Auteur de :

Histoire de la consolidation

Il était une fois… la consolidation Le présent article jette un regard sur l’activité de […]

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